已知关于X的一元二次方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0
(1 )求证：当a取不等于1的实数时,此方程总有俩个实数根
(2) 若m,n（m＜n）是此方程俩根,并且1/m+1/n=4/3.直线l：y=mx+n交x轴于点A,交y轴于点B,坐标原点O关于直线l的对称点o‘在反比例函数y=k/x的图像上,求反比例函数y=k/x的解析式
(3 )在(2)成立的条件下,将直线l绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）,得到直线l‘,l’交y轴于点P作x轴的平行线,与上述反比例函数y=k/x的图像交与点Q,当四边形APQO‘的面积为9- 3根号3/2 时,求角α的值
(我把条件1/m+1/n=3/4改成了4/3,不然结果很麻烦!)
(1).∵Δ=(2-3a)²-12(a-1)=9a²-24a+16=(3a-4)²≧0对任何a都成立,∴当a≠1(若a=1,则原方程
就不再是二次方程)时此方程总有两个实数根（a=4/3时是重根.）
(2).1/m+1/n=(m+n)/mn=[-(2-3a)/(a-1)]/[3/(a-1)]=(3a-2)/3=a-(2/3)=4/3,故a=2/3+4/3=2
因为m,n是方程的根,故其中m+n=-(2-3a)/(a-1),mn=3/(a-1),故得上式.
将a值代入原方程并化简得：x²-4x+3=(x-1)(x-3)=0,故得m=1,n=3.
故直线L：y=x+3与x轴的交点A(-3,0),与y轴的交点B(0,3)；设坐标原点关于L的对称
点O′的坐标为(p,q),则OO′的中点(p/2,q/2)在直线L上,故有q/2=(p/2)+3,
化简得q=p+6.(1)；又OO′⊥L(二者的斜率成负倒数),∴q/p=-1,即有q=-p.(2)
(1)(2)联立求解:-p=p+6,故p=-3,q=3；
点O′(-3,3)在反比例函数y=k/x上,故将其坐标代入得k=pq=-9；于是得反比例函数：y=-9/x
(3)直线L的倾角为45°,将其绕点A逆时针旋转一个锐角α后所得直线L′的倾角为45°+α,因此L′的斜率为tan(45°+α),其方程为y=[tan(45°+α)](x+3),其与y轴的交点P的坐标为(0,3tan(45°+α))；
将y=3tan(45°+α)代入反比例函数方程,得x=-9/[3tan(45°+α)]=-3cot(45°+α),故交点Q的坐标为
(-3cot(45°+α),3tan(45°+α))；于是四边形APQO′各顶点的坐标如下：
A(-3,0)；P(0,3tan(45°+α))；Q(-3cot(45°+α),3tan(45°+α))；O′(-3,3)；再加一点B(0,3).
故四边形APQO′的面积S=梯形BPQO′的面积S₁+正方形AOBO′的面积S₂-△AOP的面积S₃；
其中S₁=(1/2)[3cot(45°+α)+3)[3tan(45°+α)-3]=(9/2)[(cot(45°+α)+1]/[tan(45°+α)-1]
=(9/2)[1+tan(45°+α)-cot(45°+α)-1]=(9/2)[(1+tanα)/(1-tanα)-(1-tanα)/(1+tanα)]
=18tanα/(1-tan²α)
S₂=3×3=9；S₃=(1/2)×3×3tan(45°+α)=(9/2)tan(45°+α)=(9/2)[(1+tanα)/(1-tanα)]
于是得一等式：18tanα/(1-tan²α)+9-(9/2)[(1+tanα)/(1-tanα)]=9-3√3/2
即有18tanα/(1-tan²α)-(9/2)[(1+tanα)/(1-tanα)]=-3√3/2
36tanα-9(1+tanα)²=-3(√3)(1-tan²α)
化简整理得(9+3√3)tan²α-18tanα+9-3√3=0
故tanα={18-√[(324-4(9+3√3)(9-3√3)]}/[2(9+3√3)]=[18-√(324-216)]/[2(9+3√3)]
=(18-√108)/[2(9+3√3)]=(18-6√3)/[2(9+3√3)]=(3-√3)(3+√3)=(1-√3/3)/(1+√3/3)=tan(45°-30°)
=tan15°,即α=15°
(注：根号前不能取正号,因为若取正号,则得tanα=1,α=45°,此时L′⊥x轴,与y轴无交点,即
四边形成了一条线段,四边形不再存在.)
