如图,点F是△ABC的AC边中点,过点A作BC的平行线,与∠ABC的平分线相交于点D,E为BD的 中点.
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(1)AE⊥BD;

证明:∵AD ∥ BC,

∴∠D=∠DBC,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠DBC,

则∠D=∠ABD,

∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形,

又∵E是BD的中点,

∴AE⊥BD(三线合一);

(2)EF=

1

2 (BC-AB);

证明:延长AE交BC于点G,(或延长DF)(5分)

由(1)知∠D=∠EBG,

∵E是BD中点,

∴BE=DE,

又∵∠AED=∠GEB,

∴△AED≌△GEB(ASA),

∴AD=GB,AE=GE,

又∵F为AC中点,

∴EF是△ACG的中位线,

则EF=

1

2 GC,

∵GC=BC-GB=BC-AD,由(1)知AD=AB,

∴GC=BC-AB,

∴EF=

1

2 (BC-AB).

1年前

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