如图，点F是△ABC的AC边中点，过点A作BC的平行线，与∠ABC的平分线相交于点D，E为BD的 中点．
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（1）AE⊥BD；

证明：∵AD ∥ BC，

∴∠D=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

则∠D=∠ABD，

∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形，

又∵E是BD的中点，

∴AE⊥BD（三线合一）；

（2）EF=

1

2 （BC-AB）；

证明：延长AE交BC于点G，（或延长DF）（5分）

由（1）知∠D=∠EBG，

∵E是BD中点，

∴BE=DE，

又∵∠AED=∠GEB，

∴△AED≌△GEB（ASA），

∴AD=GB，AE=GE，

又∵F为AC中点，

∴EF是△ACG的中位线，

则EF=

1

2 GC，

∵GC=BC-GB=BC-AD，由（1）知AD=AB，

∴GC=BC-AB，

∴EF=

1

2 （BC-AB）．

1年前

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