拓扑学中如何证明在几个圆环面中可以让多边形n中的每个顶点两两连线但都不相交
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首先看球面.它和平面一样,都是单连通的.一个多边形能在平面上存在当且仅当能在球面上存在.球面上的欧拉公式V-E+F=2.对于完全4边形,V=4,E=C(4,2)=6,那么F=2-(4-6)=4.因为每个面都是三角形,而且每条边都被两个面公用,所以一共应该有3F/2=6条边,这个数刚好等于E.对于完全五边形,如果嵌入在球面上,V=5,E=C(5,2)=10,F=2-(V-E)=7.此时3F/2=11.5不等于E.同样的对于一般完全n>4边形,V=n,E=C(n,2)=n(n-1)/2,F=2-(V-E).很容易验证3F/2 > E.矛盾.这说明n>4时,完全n边形不能在球面上存在.
再看亏格为1的环面.欧拉公式V-E+F=0.一个完全n边形嵌入环面有两种可能,一种所有的三角形都是平凡的,也就是在环面上能连续缩成一个点；一种是存在不平凡的三角形.比如环面上的经线圈或者纬线圈,他们都不能连续缩成一点.对于第一种情况,所有三角形都平凡,这和球面上的情况是一样的,所以这样的情况可以不用再讨论.
考察第二种情况,就是存在不平凡的三角形,注意到不平凡的三角形并不能产生新的面.比如经线圈,一个经线圈不能把环面分割成不连通的两部分.但是一个很小的三角形确可以把环面分割成不联通的两部分,即贡献新的面.所以在第二种情况下,一条边并不总是被两个面分享.从而3F/2=E不再成立.但是不等式3F/2 < E
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