已知abc为非零实数,且1／a＋1／b＋1／c＝1／a＋b＋c.求证1／a^2005＋1／b^2005＋1／c^2005
1个回答
是这道题吧
已知1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c).求证1/a^2005+1/b^2005+1/c^2005=1/(a^2005+b^2005+c^2005)
当n=1时,有1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)成立.
假设,当n＝k时,有1/a^k+1/b^k+1/c^k=1/(a+b+c)^k成立.
由1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)两边同乘abc得：
bc+ac+ab=abc/(a+b+c)……1.
同理,由1/a^k+1/b^k+1/c^k=1/(a+b+c)^k两边同乘(abc)^k得：
（bc)^k+(ac)^k+(ab)^k=[abc/(a+b+c)]^k……2.
由1和2式得：（bc)^k+(ac)^k+(ab)^k＝[bc+ac+ab]^k.
当n=k+1时,有：
（bc)^k+1 +(ac)^k+1 +(ab)^k+1＝[bc+ac+ab]^k+1成立.
即有
[bc+ac+ab]^k+1＝=[abc/(a+b+c)]^k+1成立.
结合以上两式,两边同除以(abc)^k+1.
即证.
所以有1/a^2005+1/b^2005+1/c^2005=1/(a+b+c)^2005成立.
相关问题
