无穷级数问题①n从1到正无穷∑(sin n)^2/2^n是收敛还是发散②为什么1/n和1/n^2一个收敛一个发散啊
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(1)收敛
|(sin n)^2/2^n|n/(n+n)=1/2,与lim(n→∞)(S(2n)-Sn)=s-s=0矛盾
所以调和级数∑1/n是发散的
又讨论P-级数∑1/(n^p)的敛散性.
（1）当p≤1时,因为n^p≤n,而调和级数∑1/n是发散的,根据比较判别法知当01时,对于任意实数x,当n-1≤x1≤n,有1/n^p≤1/x^p
1/n^p=∫1/n^p dx((n-1)~n)
≤∫1/x^p dx((n-1)~n)
=1/(p-1)[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)] (n=2,3,4.)
考虑级数∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)],其部份和Sn=1-1/n^(p-1)
又有lim(n→∞)Sn=1,所以∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)]收敛,根据比较判别法,当p>1时,∑1/(n^p)收敛
比较判别法：一个正项级数,如果从某个有限的项以后,所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项,那么这个正项级数也肯定收敛.
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