证明[(n+1)!]^2>(n+1)*e^(n-2)
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两边ln一下
ln[(n+1)!]^2=2ln(n+1)!=ln(n+1)+lnn+ln(n-1)+...+ln2+0+ln(n+1)+lnn+ln(n-1)+...+ln2+0
ln(n+1)*e^(n-2)=ln(n+1)+(n-2)
设a=lnn+ln(n-1)+...+ln2+0+ln(n+1)+lnn+ln(n-1)+...+ln2+0
只需证明a>n-2
当n=1时
a=0
n-2=-1
不等式成立
当n=2时
a=ln2
n-2=0
不等式成立
设当n=k>=1时不等式成立,且当n=k+1时,不等式仍成立
即
lnk+ln(k-1)+...+ln2+0+ln(k+1)+lnk+ln(k-1)+...+ln2+0>k-2
ln(k+1)+lnk+...+ln2+0+ln(k+2)+ln(k+1)+lnk+...+ln2+0>k-1
则ln(k+3)+ln(k+2)+ln(k+1)+lnk+...+ln2+0+ln(k+2)+ln(k+1)+lnk+...+ln2+0>ln(k+3)+ln(k+2)+k-1
已知e约等于2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 6
所以k+3>e
ln(k+3)+ln(k+2)>1
故当n=k+2时
ln(k+3)+ln(k+2)+ln(k+1)+lnk+...+ln2+0+ln(k+2)+ln(k+1)+lnk+...+ln2+0>ln(k+3)+ln(k+2)+k-1>k+2-2
根据数学归纳法的原理,原不等式得证
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