在ΔABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN//BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点
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（1）将BC延长到G,因为MN//BC,所以EF//BC,所以∠ECB=∠CEF,∠EFC=∠FCG…{1式}又因为EC,FC分别为∠ACB和∠ACG的平分线,所以∠ECB=∠ECA,∠ACF=∠FCG,结合1式可得∠CEF=∠ECA,∠ACF=∠EFC,可得OE=OC,OC=OF,所以OE=OF.
(2）不能,若BCEF是菱形,则BC=CF=EF,取BC中点H,连结OH,由O是EF中点得OF=HC,由（1）得OC=OF=OE,可得HC=OC=OF,在三角形OCF中,OC=OF=1/2BC=1/2CF,显然不符合三角形两边之和大于第三边的规则,得证.
（3） 当△ABC为直角三角形,且∠ACB=90度时取O点为AC中点,可得到AECF为正方形
当O点为AC中点时,可得OC=OA=1/2AC,由（1）知OC=1/2EF,所以AC=EF,也可得三角形OAE全等于三角形OCF,三角形OEC全等于三角形OAF,所以AE//CF,AF//EC,即四边形AECF为平行四边形,又CE、CF分别为∠ACB和∠ACG的角平分线,所以∠ECF=90度,因此,平行四边形AECF为矩形.又∠ACB=90度,所以∠ECB=∠ECA=∠CEF=45度,∠ACF=∠FCG=∠EFC=45度,所以EC=FC,所以四边形AECF为正方形.
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