解题思路：（1）由题意知：an=2an-1+1，a1=1，从而易得an+1=2（an-1+1），利用等比数列的通项公式可求得数列{an}的通项公式；
（2）由题意，a1=1，b1=1，S1=0，当2≤n≤2014时，Sn=Sn-1+
1
a
n−1
，bn=an•Sn，而Sn=S1+
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
，从而可得
b
n
a
n
=
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
，
b
n+1
a
n+1
=
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
+
1
a
n
，于是易求
b
n+1
a
n+1
-
1+
b
n
a
n
（n∈N*，n≤2014）的值；
（3）由（2）知，知
1+
b
n
b
n+1
=
a
n
a
n+1
，b1=a1=1，b2=3，a2=3，于是易求
(1+
b
1
)(1+
b
2
)…(1+
b
n
)
b
1
•
b
2
…
b
n
=2（
1
a
n
+
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
），将所证的关系式转化为证明
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n−1
+
1
a
n
＜
5/3]即可，即证1+[1/3]+[1/7]+…+[1
2
n
−1
＜
5/3]，利用放缩法可证得结论．
（1）由题意知：an=2an-1+1，a1=1，
∴an+1=2（an-1+1），
∴an+1=（a1+1）•2n-1=2n，
∴an=2n-1（n∈N*，n≤2014）．
（2）由题意，a1=1，b1=1，S1=0，
当2≤n≤2014时，Sn=Sn-1+[1
an−1，bn=an•Sn，
此时，Sn=S1+
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1，
∴bn=an（
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1），
∴
bn
an=
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1，
∴
bn+1
an+1=
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1+
1
an，
∴
bn+1
an+1-
bn
an=
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和；程序框图．
考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查数列的递推式的应用，考查程序框图的理解与应用，突出等价转化思想与抽象思维能力的考查，属于难题．
1年前
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