设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，f(x)＝(

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，

f(x)＝(

1

2

)

1−x

，则其中所有正确命题的序号是______．

①2是函数f（x）的周期； ②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；

③函数f（x）的最大值是1，最小值是0； ④当x∈[3，4]时，

f(x)＝(

1

2

)

x−3

．

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1个回答

解题思路：根据条件求出函数的周期，即可判定①的真假，根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，以及在（0，1）上的单调性，可判定②的真假，根据单调性和周期性可求出函数的最值，可判定③的真假，最后求出函数在x∈[3，4]时的解析式即可判定④的真假．

∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），

∴f（x+2）=f（x）则f（x）的周期为2，故①正确；

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝(

1

2)1−x，

∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；

∴函数f（x）的最大值是f（1）=1，最小值为f（0）=[1/2]，故③不正确；

设x∈[3，4]，则4-x∈[0，1]，f（4-x）=(

1

2)x−3=f（-x）=f（x），故④正确；

故答案为：①②④

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数奇偶性的性质；函数的周期性．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性以及函数的最值，同时考查了分析问题的能力，是中档题．

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