设{an}是正项等比数列，令Sn=lga1+lga2+…+lgan，n∈N*，若存在互异的正整数m，n，使得Sm=Sn，
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解题思路：根据{an}是正项等比数列，推断出lgan+1-lgan结果为常数，判断出数列{lgan}为等差数列，进而用等差数列求和公式分别表示出Sm和Sn，根据Sm-Sn=0求得lga1+
m+n−1
2
d
）=0代入Sm+n求得答案．
∵{an}是正项等比数列，设公比为q，
∴lgan+1-lgan=lgq
∴数列{lgan}为等差数列，
设公差为d
则Sm=mlga1+
m(m−1)d
2，Sn=nlga1+
n(n−1)d
2
∵Sm=Sn，
∴Sm-Sn=mlga1+
m(m−1)d
2-nlga1-
n(n−1)d
2=（m-n）（lga1+[m+n−1/2d）=0
∵m≠n
∴lga1+
m+n−1
2d）=0
∴Sm+n=（m+n）lga1+
(m+n)(m+n−1)d
2]=（m+n）（lga1+
m+n−1
2d）=0
故答案为0．
点评：
本题考点： 等比数列的性质；等比数列的前n项和．
考点点评： 本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．解题的关键是判断出数列{lgan}为等差数列．
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