设f（x）=ax 2 +bx+c，若f（1）= 7 2 ，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x 2 + 1 2 ≤f（
1个回答
由f（1）=
7
2 ，得a+b+c=
7
2 ．令x 2+
1
2 =2x 2+2x+
3
2 ⇒x=-1．
由f（x）≤2x 2+2x+
3
2 推得f（-1）≤
3
2 ，
由f（x）≥x 2+
1
2 推得f（-1）≥
3
2 ，
∴f（-1）=
3
2 ．
∴a-b+c=
3
2 ．故a+c=
5
2 且b=1．
∴f（x）=ax 2+x+
5
2 -a．
依题意ax 2+x+
5
2 -a≥x 2+
1
2 对一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=
3
2 ．
∴f（x）=
3
2 x 2+x+1．
证明如下：
3
2 x 2+x+1-2x 2-2x-
3
2 =-
1
2 x 2-x-
1
2 =-
1
2 （x+1） 2≤0．
∴
3
2 x 2+x+1≤2x 2+2x+
3
2 对x∈R都成立．
∴存在实数a=
3
2 ，b=1，c=1，
使得不等式x 2+
1
2 ≤f（x）≤2x 2+2x+
3
2 对一切x∈R都成立．
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