一道高中向量题在任意三角形ABC中,O为内心.求证:OA+OB+OC=0(OA,OB,OC均指向量)式子发错了.失误,失
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设∠BAC=α
∠CBA=β
∠ACB=γ
可以先用正弦定理
得出:a=2Rsin α
b=2Rsin β
c=2Rsin γ
(R为三角形外接圆半径)
则a(O→A)+b(O→B)+c(O→C)
=2R((O→A)sin α+(O→B)sin β+(O→C)sin γ)
O为内心,则O到三边距离相等,
设OF⊥AB
OE⊥AC
OD⊥BC
容易证得△AFO≌△AEO
令OA交FE于点H
可证得△AFH≌△AEH
则(F→H)=(H→E)=1/2(F→E)
因为(O→A)sin α=(O→A)*2*sin α/2*cos α/2
=(F→A)*2*sin α/2
=(F→H)*2
=(F→E)
同理(O→B)sin β=(D→F)
(O→C)sin γ=(E→D)
所以(O→A)sin α+(O→B)sin β+(O→C)sin γ=0
所以a(O→A)+b(O→B)+c(O→C)=0
打的好累啊.
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