抛物线y=ax^2+bx+c开口向下,顶点在直线y=x上,且图像过原点,顶点到原点的距离为3根号2,求抛物线解析式.
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顶点到原点的距离为3√2,顶点在Y=X上,

∴顶点为(3,3)或(-3,-3),但开口向下且过原点,

∴顶点只能为(3,3),

设解析式为Y=a(X-3)^2+3,

令X=0,Y=0,得a=-1/3,

解析式为Y=-1/3(X-3)^2+3或Y=-1/3X^2+2X.

⑵Δ=K^2-4(K-2)=(K-2)^2+4>0

∴抛物线与X轴一定有两个交点：

设与X轴相交的横坐标为X、X2,

则X1+X2=-K,

X1*X2=K-2,

|X1-X2|=√［(X1+X2)^2-4X1*X2］

=√(K^2-4X+8)

=√［(K-2)^2+4］

∴当K=2时,|X1-X2|最小.

这时解析式为：Y=X^2+2X

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