已知a>0,函数f(x)=ax-bx^2.
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1.证明：

根据题意可知：f(x)≤1对任意实数都成立,即-bx+ax-1≤0恒成立

因为a＞0,b＞0,若使-bx+ax-1≤0恒成立,则有判别式△≤0

即a-4b≤0,也即0＜a≤2√b

所以f(x)≤1是a≤2√b的充分条件 2.证：

设g(x)=bx-1/x,x∈(0,1].由于对x1,x2∈(0,1]且x10

所以g(x)单调增函数,bx-1/x的最大值是b-1.

另外,由bx+1/x≥2√b及等号成立条件是x=1/√b,由b>1知1/√b∈(0,1],因此当x=1/√b时bx+1/x取最小值2√b.

由a>0,函数f(x)=ax-bx,当b>1时

对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1对任意x∈[0,1],|ax-bx|≤1

对任意x∈[0,1],-1≤ax-bx≤1

对任意x∈(0,1],bx-1/x≤a≤bx+1/xb-1≤a≤2√b.

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