解题思路：（1）作BH⊥AC于点H，求出AH=12，BH=9，求出CH，根据勾股定理得出BC2=BH2+CH2，求出即可；
（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，求出OE=OF=[1/2]BH=[9/2]，求出PC=15-x，根据y=S△ABC-S△BOM-S△COP和三角形面积公式求出即可；
（3）①当PN⊥AC时，作MG⊥AC于点G，求出AG=8，MG=6，①若点P1在AG上，由折叠知∠AP1M=135°，求出P1G=MG=6，代入AP1=AG-P1G求出即可；②若点P2在CG上，由折叠知∠AP2M=45°，求出P2G=MG=6，代入AP2=AG+P2G求出即可；③当MN⊥AC时，
由折叠知∠AMP3=∠NMP3，求出P3G=8-x，GN3=4，根据P3N32=P3G2+GN32得出x2=（8-x）2+42，求出即可．
（1）作BH⊥AC于点H，如图1，
∵在Rt△ABH中，cos∠A=[4/5]，AB=15，
∴AH=12，
∴BH=9，
∵AC=15，
∴CH=3，
∵BC2=BH2+CH2，
∴BC2=92+32=90，
∴BC=3
10．
（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图2，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，点O是BC的中点，AB=AC，
∴OE=OF=[1/2]BH=[9/2]，
∵AM=2MB，AB=AC=15，
∴AM=10，BM=5，
∵PA=x，
∴PC=15-x，
∴y=S△ABC-S△BOM-S△COP
=[1/2]BH•AC-[1/2]OE•BM-[1/2]OF•PC
=[1/2]×9×15-[1/2]×[9/2]×5-[1/2]×[9/2]×（15-x）
即y=[9/4]x+[45/2]．定义域是0＜x≤15．
（3）①当PN⊥AC时，如图2，作MG⊥AC于点G，
∵在Rt△AMG中，cos∠A=[4/5]，AM=10，
∴AG=8，
∴MG=6，
②若点P1在AG上，∠AP1N1=90°，由折叠知：∠AP1M=∠N1P1M=135°，
∴∠MP1G=45°，
∵MG⊥AC，
∴P1G=MG=6，
∴AP1=AG-P1G=2．
③若点P2在CG上，由折叠知：∠AP2M=45°，
∵MG⊥AC，
∴P2G=MG=6，
∴AP2=AG+P2G=14．
④当MN⊥AC时，如图3，
由折叠知：∠AMP3=∠NMP3，P3N3=AP3=x，MN3=MA=10，
∴P3G=8-x，GN3=4，
∵P3N32=P3G2+GN32，
∴x2=（8-x）2+42，
∴x=5，
综上所述，x=2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直．
点评：
本题考点： 相似形综合题．
考点点评： 本题考查了折叠性质，勾股定理，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度偏大．
