轮换式\对称式知识系统讲解

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首先要说明的时,轮换式完整的叫法是轮换对称式.因为几何上对称除了轴对称之外,还有中心对称、旋转对称等,相应地,在代数里对称也有较多的对称.这与我们日常语言中的概念是有区别的.下面指出轮换式和对称式的区别：对称式交换任意两个变量的值,结果不变,如x+y+z；轮换对称式一定要轮换,例如x->y,y->z,z->x才能使结果不变,如(x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y,光换两个不行.第二个问题是分解因式的应用,现举实例如下：①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz(1) 分析:将原式看成X的多项式,可知当X=－Y时,原式=(－Y＋Y＋Z)^5－(－Y)^5－Y^5－Z^5 =0所以原式有因式(X＋Y),因为是对称式,所以原式还有因式(Y＋Z),(Z＋X)设原式=(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)[K(X^2＋Y^2＋Z^2)＋T(XY＋YZ＋ZX)]令X=1,Y=1,Z=0,代入得 30=2(2K＋T);令X=1,Y=－1,Z=0,代入得－30=－2(5K－2T) 解得K=5,T=5所以原式=5(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)(X^2＋Y^2＋Z^2＋XY＋YZ＋ZX)(2) 分析设原式=[(2A＋2B＋2C)^3－(B＋C)^3]－[(C＋A)^3＋(A＋B)^3]然后利用立方差和立方和公式展开,并令整理后的式子=(2A＋B＋C)(M－N)其中由轮换多项式可确定(M－N)中含有(A＋2B＋C),(A＋B＋2C)比较系数的原式=3(2A＋B＋C) (A＋2B＋C)(A＋B＋2C)(3)分析设X=Y＋Z,则有原式=(X＋Y)^3＋Y^2(2Z＋Y)＋Z^2(2Y＋Z)－[(Y＋Z)^3＋Y^3＋Z^3]－2(Y＋Z)YZ=(Y＋Z)^3＋2Y^2Z＋Y^3＋2YZ^2＋Z^3－(Y＋Z)^3－Y^3－Z^3－2Y^2Z－2YZ^2=0所以原式有因式(Y＋Z－X),因为对称式,故也有因式(Z＋X－Y),(X＋Y－Z)设原式=K(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)其中K为待定系数,比较等式两边XYZ项的系数右=K(1－1＋1－1－1－1)=－2K ,左=－2 所以解得K=1所以原式=(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)对称与轮换对称很重要,以后一直到大学都很有用