如图，设椭圆C： （a＞b>0）的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，上顶点为A，过点A与AF 2 垂直的直线交x
1个回答
（1）因为
所以F 1为F 2Q中点
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF 2，
所以b 2=3c×c=3c 2，a 2=4c×c=4c 2，且过A，Q，F 2三点的圆的圆心为F 1（-c，0），半径为2c
因为该圆与直线l相切，
所以
解得c=1，
所以a=2，
故所求椭圆方程为
。
（2）设l 1的方程为y=kx+2（k>0）
由
得（3+4k 2）x 2+16kx+4=0
设G（x 1，y 1），H（x 2，y 2），则
所以
（x 1-m，y 1）+（x 2-m，y 2）
=（x 1+x 2-2m，y 1+y 2）
=（x 1+x 2-2m，k（x 1+x 2）+4）
（x 2-x 1，y 2-y 1）=（x 2-x 1，k（x 2-x 1））
由于菱形对角线互相垂直，因此
所以（x 2-x 1）[（x 1+x 2）-2m]+k（x 2-x 1）[k（x 1+x 2）+4]=0
故（x 2-x 1）[（x 1+x 2）-2m+k 2（x 1+x 2）+4k]=0
因为k>0，
所以x 2-x 1≠0
所以（x 1+x 2）-2m+k 2（x 1+x 2）+4k=0，
即（1+k 2）（x 1+x 2）+4k-2m=0
所以
解得
即
因为k>0，
所以
故存在满足题意的点P且m的取值范围是
。
（3）①当直线l 1斜率存在时，
设直线l 1方程为y=kx+2，代入椭圆方程
得（3+4k 2）x 2+16kx+4=0
由△>0，得
设G（x 1，y 1），H（x 2，y 2），
则
又
，
所以（x 1，y 1-2）=λ（x 2，y 2-2）
所以x 1=λx 2
所以
所以
所以
整理得
因为，
所以
，即
所以
解得
又0＜λ＜1，
所以7-4
＜λ＜1。
②当直线l 1斜率不存在时，直线l 1的方程为x=0，
此时
，
，
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