若非零复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2(x1,y1,x2,y2∈R)在复平面上对应点分别是Z1,Z2,O为坐标原

若非零复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2(x1,y1,x2,y2∈R)在复平面上对应点分别是Z1,Z2,O为坐标原点,

请写出向量OZ1垂直于OZ2的一个必要条件,并加以证明

注：请写出清楚的证明,尽量别跳步骤.

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必要条件：x1 * x2 + y1 * y2 = 0

证：

复平面上,横坐标是 实部,纵坐标是 虚部

这跟实平面坐标没什么差别,

都表示点或向量为（x ,y）

所以,垂直的必要条件完全可以由普通坐标的理论来推出

具体证明：

设Z1 = （x1,y1),Z2 = (x2,y2)

1、当 Z1 或 Z2 中任一向量在坐标轴上,则当 Z1 垂直于Z2 时,必有

上述条件成立.

2、当 Z1 和Z2 均在其他位置时,

由于Z1 垂直于 Z2

Z1 * Z2 = x1 * x2 + y1 * y2 = 0

故得证

事实上,还可以利用tan函数来证明,设A、B 为Z1 、Z2与实轴的夹角,

然后,1/tan(A + B) = 0 ,代入 tan A 与 tan B 即可

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