如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证:
(1)B1D⊥平面A1C1B;
(2)B1D与平面A1C1B的交点设为H,则点H是△A1C1B的重心.
解题思路:(1)连B1D1,要B1D⊥平面A1C1B,只需证明直线B1D垂直平面A1C1B内的,两条相交直线A1C1、A1B即可;
(2)B1D与平面A1C1B的交点设为H,连A1H,BH,C1H,由A1B1=BB1=C1B1,得A1H=BH=C1H,因此点H为△A1BC1的外心,类比推出,点H是△A1C1B的垂心.
证明:(1)连B1D1,B1D1⊥A1C1,又DD1⊥面A1B1C1D1,
所以DD1⊥A1C1,A1C1⊥面D1DB1,因此A1C1⊥B1D.
同理可证B1D⊥A1B,所以B1D⊥平面A1C1B.(6分)
(2)连A1H,BH,C1H,由A1B1=BB1=C1B1,得A1H=BH=C1H,因此点H为△A1BC1的外心.
又△A1BC1为正三角形,所以H是△A1BC1的中心,
也是△A1BC1的重心.(12分)
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的判定;三角形五心.
考点点评: 本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
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