今有物不知其数.三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物有几何?
2个回答
这相当于解如下同余方程组：
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 7)
这同余方程组的解为：
x ≡ 23 (mod 105)
这说明当有23,128,233,338……个数的物体.
关于同余式：
x ≡ y (mod m)
表示x - y是m的倍数
根据这个定义,楼主自己思考下看你所提的实际问题是否就对应着前述三个同余式构成的同余方程组?
从那三个同余方程组解出x ≡ 23 (mod 105)这不难,但这种一次同余方程组的一般求解确是有点难度的,楼主可以参考任意一本初等数论的教材.下面是解出x ≡ 23 (mod 105)的一个思路：
因为x ≡ 2 (mod 3)
这就是说x - 2是3的倍数,设x - 2 = 3k
即x = 3k + 2,将此式带入第二个同余方程,得到：
3k + 2 ≡ 3 (mod 5)
即 3k ≡ 1 (mod 5)
将k = 5t,5t + 1,5t + 2,5t + 3,5t +4代入上述方程进行试验,发现只有k = 5t + 2满足,
故k = 5t + 2
x = 3k + 2 = 15t + 8
带入第三个同余方程,得到：
15t + 8 ≡ 2 (mod 7)
即 15t ≡ -6 (mod 7)
下面我要用一个同余式的性质：
14t + t ≡ -7 + 1 (mod 7)
由于14t和-7都是7的倍数,根据同余式的定义,应该有(思考为什么)：
t ≡ 1 (mod 7)
这说明t - 1是7的倍数,即
t - 1 = 7s
结合下式：
x = 3k + 2 = 15t + 8
即得到：
x = 105t + 23
此即 x ≡ 23 (mod 105)
相关问题
