设A ,D是可逆矩阵,B ,C是幂零矩阵,证明分块矩阵 A B 可逆.C D
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设[A B [A^{-1} X [E O
C D]乘以 Y D^{-1}]等于 O E]
直接计算左边并与右边比较可得X=-A^{-1}BD^{-1},Y=-D^{-1}CA^{-1}
由此可知原分块矩阵可逆,其逆矩阵为
[A^{-1} -A^{-1}BD^{-1}
-D^{-1}CA^{-1} D^{-1}]
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