高三立体几何的一个题
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(1)
取BC的中点M,连结AM,DM.
∵AB=AC,BD=CD,
∴BC⊥DM,BC⊥AM,
∴BC⊥面AMD,而AD在面AMD上,
∴BC⊥AD.
（2）取AC的中点N,连结BN；取AD的中点H,连结NH,BH.
则BN⊥AC,NH⊥AC.
∴∠BNH为二面角的平面角.
△BNH中,BN =√6/2,NH=1/2,BH=√3/2.
由余弦定理：
cos∠BNH=[(6/4)+(1/4)-(3/4)]/(√6/2)
=√6/3,
∴二面角arccos√6/3.
(3)过E作ER⊥底面于R；过A作AO⊥底面BCD于O,则O在DM上.
△AMD中,AD=√3,AM=√6/2,DM=√2/2,
由余弦定理：cos∠ADM=√6/3,故sin∠ADM=√3/3,
∴Rt△AOD中,AO=ADsin∠ADM=1.
设CE=x,由相似三角形比例关系得：
x∶√2=ER∶1,
∴ER=x/√2.——⑴
又∠EDR=30°,由勾股定理ED=√(x²+1),
∴ER=[√(x²+1)]/2,——⑵
由⑴⑵得：
x²/2=√(x²+1)/4,解得：
x=1.
所以,存在E使得ED与面BCD所成角30°.
此时E与C距离为1.
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