2到微积分数学题
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设f(x)在[x.x+Δx]的平均值为m.

那么f(x)在[x.x+Δx]一段曲线,与x轴下方,所围成的曲边梯形的面积可以表示为,

mΔx=∫(x->x+Δx)f(x)dx

所以平均值m=(1/Δx)∫(x->x+Δx)f(x)dx

当Δx->0时,平均值变成了f(x)在x点的平均值,所以lim(1/Δx)∫(x->x+Δx)f(x)dx=f(x).

也可以计算得到,设F'(x)=f(x),

所以lim(1/Δx)∫(x->x+Δx)f(x)dx=lim[F(x+Δx)-F(x)]/Δx=F'(x)=f(x)

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