a0+0.5a1+.+an/(n+1)=0,证明f(x)=a0+a1x+..+anx^n在(0,1)内至少有1个零根
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证明:

记g(x)=a0x+1/2a1x^2+...+1/(n+1)anx^(n+1)

由初等函数性可知g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导

且g(0)=g(1)=0

由罗尔定理知,

至少存在一点θ∈(0,1),使得

g'(θ)=0

即g'(θ)=f(θ)=0

证毕.

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