一道初二代数题已知a的平方=b+2,b的平方=a+2,求a的立方-2ab+b的立方的值.
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因为a^2＝b＋2,b^2＝a＋2
所以两式相减得：
(a＋b)(a－b)＝－(a－b)
若a－b＝0,则a＝b
所以可解得a＝b＝－1或a＝b＝2
所以
a^3－2ab＋b^3＝－4
或
a^3－2ab＋b^3＝8
若a－b≠0
则由(a－b)(a＋b)＝－(a－b) 得
a＋b＝－1
所以b＝－a－1,代入a^2＝b＋2整理得：
a^2＋a－1＝0
解得
a＝(－1±√5)/2
b＝－(1±√5)/2
所以
ab＝－[(－1±√5)/2]*[(1±√5)/2]＝－1
所以
a^3－2ab＋b^3
＝(a＋b)(a^2－ab＋b^2)－2ab
＝－[(a＋b)^2－3ab]－2ab
＝－(1－3ab)－2ab
＝－1＋3ab－2ab
＝－1＋ab
＝－1－1
＝－2
综上所述,a^3－2ab＋b^3＝8或－4或－2
后一种情况才发现特殊方法：
若a－b≠0
则由(a－b)(a＋b)＝－(a－b) 得
a＋b＝－1
又因为a^2＝b＋2,b^2＝a＋2
所以
a^3－2ab＋b^3
＝a^2*a－2ab＋b^2*b
＝(b＋2)*a－2ab＋(a＋2)*b
＝2a＋2b
＝2(a＋b)
＝2*(－1)
＝－2
这的确是个很不错的代数问题!
江苏吴云超祝你新年快乐
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