为什么连续函数在某些位置不可微?
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可微定义：自变量在x0点取得 改变量 △x 时,相应地函数获得改变量
△y = f ( x0+ △x) - f ( x0)
如果 △y 可以写成 关于 △x 的线性函数 和 △x 的某个高阶无穷量 之和,即：
△y = f ( x0+ △x) - f ( x0) = A △x + o(△x ) （ A 与 △x 无关）
则称 y=f（x）在 x0 点可微,称 A △x 为 y=f（x）在 x0 点的微分,记作：dy = A △x.
y=f（x）在 x0 点可微 当且仅当 △y / △x = A + o(△x ) / △x
当且仅当 △y / △x -->A (△x->0)
本题：y=f（x）= x ^ （2/3）在 x0=0 点是否可微
取决于 △y = f ( △x) - f ( 0) = （△x） ^ （2/3） 与 △x 的比值极限是否存在.
你的头两个问题 都是 因为 △y = （△x） ^ （2/3）
所谓的阶高低,就是趋于 0 的速度 快慢问题：
（ 显然 △y 趋于 0 的速度 远远慢于 △x 趋于 0 的速度）
因为 △x / △y = （△x） ^ （1/3） -->0 (△x->0)
所以从两个无穷小量阶的比较看：△x 是△y的高阶无穷小 ,△x 比△y趋于0的阶高(速度快).
此时 △y / △x =（△x） ^ （2/3） / △x = 1 / [（△x） ^ （1/3）] 极限不存在
所以 y=f（x）= x ^ （2/3）在 x0=0 点 不 可微.
