在三角形ABC中,已知三边abc成等差数列,且最大角a是最小角的2倍.求a:b:c
1个回答
我的方法（不一定最简单）
由题设,abc成等差数列,根据正弦定理,sinA,sinB,sinC也是等差数列.已知最大角A是最小角的2倍,所以a>b>c,且C为最小角（证明这个论断见最后）,于是A=2C,B=π-A-C=π-3C.
sinA+sinC=2sinB,即
sin(2C)+sinC
= 2sin(π-3C) = 2sin(3C)
=2 sin(2C+C) = 2sin(2C)cosC + 2cos(2C)sinC
于是
2sinC*cosC+sinC=2*2sinC*cosC*cosC + 2*(2(cosC)^2-1)sinC
化简得到
8(cosC)^2-2cosC-3=0,
解得cosC=3/4.（另一个解cosC=-1/2,因为C为锐角,舍弃）
所以 sinC=sqrt(7)/4,
sinA=sin(2C)=2sinC*cosC=3sqrt(7)/8,
sinB=(sinA+sinC)/2=5sqrt(7)/16,
故
a:b:c=sinA:sinB:sinC=6:5:4.
（结论a>b>c,且C为最小角的证明：
不然就有a
相关问题
