求质量均匀扇形薄板的质心?已知半径和顶角.

求质量均匀扇形薄板的质心?已知半径和顶角.

用微积分解.

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设半径R,顶角a,

不妨设单位面积质量1,则:此薄板质量为:(a/(2π))*πR^2=(1/2)aR^2

显然,质心应在扇形的对称轴上,设其与圆心的距离为X

则:((1/2)aR^2)X=∫∫(r*cosα)*dr*rdα=∫∫(cosα)r^2drdα

(r从0到R,α从-a/2到a/2)

((1/2)aR^2)X=∫∫(cosα)r^2drdα=∫(cosα)dα ∫r^2dr =2sin(a/2)*(1/3)R^3

=(2/3)sin(a/2)R^3

X=(4R/3)sin(a/2)

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