已知周长为15的三角形ABC中,角B所对的边为b,且bcosA+bcosC=12,cos(A+C)=1/2,求b
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由于∠A+∠B+∠C=π,所以∠B=π-(∠A+∠C)
则cosB=cos(π-(∠A+∠C))=-cos(A+C)=-1/2
由于∠B∈(0,π),所以由cosB=-1/2可知∠ABC=2π/3
过A、C分别作△ABC的高AD、CF
则∠ABD=∠CBF=π-∠ABC=π-2π/3=π/3
所以在Rt△ABD中,∠D=90°,所以BD=ABcos∠ABD=ccos(π/3)=c/2
在Rt△BCF中,∠F=90°,所以BF=BCcos∠CBF=acos(π/3)=a/2
另一方面,在Rt△ACF中,bcosA=ACcos∠CAF=AF=AB+BF=c+a/2
在Rt△ACD中,bcosC=ACcos∠ACD=CD=BC+BD=a+c/2
则bcosA+bcosC=c+a/2+a+c/2=3(a+c)/2=12,解得a+c=8
又△ABC周长为15,所以b=15-(a+c)=15-8=7
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