(1)在长方体AC'中,M,N分别是AD,AB的中点,求证：D'M,AA',B'N三线共点.(2)长方体ABCD_A'B
1个回答

（1）证明：设AA'和D'M相交于O

B'N与AA'相交于O'

平面A'D'0⊥平面A'B'O'

M、N分别为AD、AB的中点

所以

AN‖A'B',且AN=1/2A'B'

AM/A'D'=OA/OA'=1/2

所以OA=AA'

AM‖A'D',且AM=1/2A'D'

AN/A'B'=O'A/O'A'=1/2

所以O'A=AA'

OA=O'A

所以O'和O点重合

D'M,AA',B'N三线共点

（2）

E,F分别是A'B和BB'的中点

EF‖A'B'

A'B'⊥平面ADD'A'

EF⊥平面ADD'A'

EF⊥AD'

成90度

设AC和BD交于O

取BC、CC'、B'C'的中点G、E、F

连接EF,OE

EF‖B'C,EF=1/2B'C=√5a/2

OE‖AC',OE=1/2AC'=3a/2

在直角三角形OGF中,求得OF=√2a

利用余弦定理

三角形OEF中

求得cosOEF=√5/5

AC'和B'C所成的角的余弦值为√5/5,再利用反三角函数求角,省略

仅供参考

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