∵{am}＝{a1,a1＋d,...,a1＋(m－1)d}
∴
a1＋am＝a1＋[a1＋(m－1)d]＝2a1＋(m－1)d
a2＋am-1＝(a1＋d)＋[a1＋(m－2)d]＝2a1＋(m－1)d
……
am-1＋a2＝[a1＋(m－2)d]＋(a1＋d)＝2a1＋(m－1)d
am＋a1＝[a1＋(m－1)d]＋a1＝2a1＋(m－1)d
∴Sm＝a1＋a2＋...＋am＝[(a1＋am)＋(a2＋am-1)＋...(am-1＋a2)(am＋a1)]/2＝[2a1＋(m－1)d]·m/2
同理,Sl＝[2a1＋(l－1)d]·l/2
∵Sm＝Sl
∴[2a1＋(m－1)d]·m/2＝[2a1＋(l－1)d]·l/2
展开,得：2m·a1＋m(m－1)d＝2l·a1＋l(l－1)d
移项,得：[m(m－1)－l(l－1)]d＝2l·a1－2m·a1
展开,得：(m^2－m－l^2＋l)d＝2a1(l－m)
结合,得：[(m^2－l^2)＋(l－m)]d＝2a1(l－m)
[(m＋l)(m－l)－(m－l)]d＝-2a1(m－l)
(m－l)[(m＋l)－1]d＝-2a1(m－l)
∵l ≠ m,m ≥ 1,l ≥ 1
∴m－l ≠ 0,m＋l－1 ≥ 1
两边同除以(m－l),得：(m＋l－1)d＝-2a1
∴d＝-2a1/(m＋l－1)
又
Sn＝Sn-1＋an
∴当an ≥ 0时,Sn是单调递增的
∵an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)·[-2a1/(m＋l－1)]＝(m＋l＋1－2n)·a1/(m＋l－1)
∴(m＋l＋1－2n)·a1/(m＋l－1) ≥ 0
∵a1 > 0,m＋l－1 ≥ 1
∴m＋l＋1－2n ≥ 0
即n ≤ (m＋l＋1)/2,n ∈ N
∴若m,l奇偶性相同（即同为奇数或同为偶数）,则n＝(m＋l)/2时Sn最大；
若m,l奇偶性相异（即一为奇数另一为偶数）,则n＝(m＋l＋1)/2时Sn最大.
