f(x)在(a,+∞)连续且在a处极限为a在正无穷处极限为b证明函数在(a,+∞)有界
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证明 因

lim(x→a+)f(x),lim(x→+∞)f(x)

均存在,据极限的局部有界性定理,可知存在 η>0,X>0,使得 f(x) 在 (a,a+η) 和 (X,+∞) 有界,即有 M1>0,使

|f(x)| ≤ M1,x∈(a,a+η)∪(X,+∞)；

又 f(x) 在 [a+η,X] 上连续,据闭区间上连续函数的有界性定理,得知 f(x) 在 [a+η,X] 上有界,即存在 M2>0,使

|f(x)| ≤ M2,x∈[a+η,X],

取 M=max{M1,M2},则…….

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