（2002•广州）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，O是AB的中点，OP⊥AB交AC于点P．
1个回答
解题思路：（1）利用相似三角形的性质求得个线段的长即可；
（2）根据相似三角形的性质得比例式，列不等式即可求得．
（1）∵∠B=90°，OP⊥AB，
∴∠AOP=∠B=90°，
∴△AOP∽△ABC．∴[OP/AO＝
BC
AB]
∵AB=4，BC=3，O是AB的中点．
∴[OP/2＝
3
4]
∴OP=[3/2]
∵OP=[3/2]＜AO=OB=2，且[3/2]+2＞2．
∴OP+AB＞OB
即AO，BO，OP中，任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度．
∵∠B=90°，OP⊥AB
∴OP∥BC
∵O是AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线．
∴OP=[1/2]BC
∵BC=3
∴OP=[3/2]；
（2）当M在OB上时，设AM=x（2≤x≤4）
则MB=4-x，
∵△AMN∽△ABC
∴[MN/AM＝
BC
AB]
∴MN=[BC•AM/AB＝
3
4]x
又MN＜AM，MB＜AM
∴MN+MB＞AM，
∴[3/4]x+（4-x）＞x
∴x＜[16/5]
∴AM的取值范围为2≤AM＜[16/5]．
点评：
本题考点： 三角形中位线定理；三角形三边关系；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形三边关系，此题难度较大，解题要细心．
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