已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15°.求证:△PBC是正三角形.(初二)
收藏:
0
点赞数:
0
评论数:
0
3个回答

解题思路:在正方形内做△DGC与△ADP全等,根据全等三角形的性质求出△PDG为等边,三角形,根据SAS证出△DGC≌△PGC,推出DC=PC,推出PB=DC=PC,根据等边三角形的判定求出即可.

证明:

∵正方形ABCD,

∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,

∵∠PAD=∠PDA=15°,

∴PA=PD,∠PAB=∠PDC=75°,

在正方形内做△DGC与△ADP全等,

∴DP=DG,∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°,

∴∠PDG=90°-15°-15°=60°,

∴△PDG为等边三角形(有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形),

∴DP=DG=PG,

∵∠DGC=180°-15°-15°=150°,

∴∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC,

在△DGC和△PGC中

DG=PG

∠DGC=∠PGC

GC=GC,

∴△DGC≌△PGC,

∴PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=15°,

同理PB=AB=DC=PC,

∠PCB=90°-15°-15°=60°,

∴△PBC是正三角形.

点评:

本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定.

考点点评: 本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点的应用,关键是正确作出辅助线,又是难点,题型较好,但有一定的难度,对学生提出了较高的要求.

点赞数:
0
评论数:
0
关注公众号
一起学习,一起涨知识