一道线性代数证明题求解设a1,a2,...,am线性无关,b1可由它们线性表示,而b2不能由它们线性表示,证明:m+1个
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证明:

对于任意实数x1,x2,...,xm,x

若x1a1+x2a+...+xmam+x(lb1+b2)=0

因为b1可由a1,a2,...am线性表出,则存在实数c1,c2,...,cm使得b1=c1a1+c2a2+...+cmam

从而

x1a1+x2a2+...+xmam+xl(c1a1+c2a2+...+cmam)+xlb2=0

(x1+xlc1)a1+(x2+xlc2)a2+...+(xm+xlcm)am+xlb2=0

因为b2不能由a1,a2,...,am线性表出,且a1,a2,...,am线性无关

则a1,a2,...,am,b2线性无关

所以

x1+xlc1=x2+xlc2=...=xm+xlcm=xl=0

若l=0,{a1,a2,...,am,lb1+b2}={a1,a2,...,am,b2}已经线性无关

下面考虑l≠0时

有x=0

从而

x1=x2=.=xm=0

所以a1,a2,...,am,lb1+b2线性无关