已知圆C:x²+6x+y²-4y+12=0,求过点p(-2,4)的圆C的切线方程.
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圆C:x²+6x+y²-4y+12=0,

∴ x²+6x+9+ y²-4y+4=-12+9+4

∴ (x+3)²+(y-2)²=1

∴ 圆心是C(-3,2),半径是1

∵切线过P(-2,4)

分类讨论:

(1)直线斜率不存在

则直线方程为x=-2

此时,圆心C(-3,2),到x=-2的距离是1

∴ x=-2是圆的一条切线

(2)直线斜率存在

设直线方程为y-4=k(x+2)

∴ 直线方程是kx-y+2k+4=0

∵ 直线与圆相切,

∴ 圆心C(-3,2),到直线的距离等于半径1

∴ |-3k-2+2k+4|/√(k²+1)=1

∴ |-k+2|=√(k²+1)

两边平方

∴ k²-4k+4=k²+1

∴ -4k=-3

∴ k=3/4

∴ 直线方程是y-4=(3/4)(x+2)

即 y-4=(3/4)x-3/2.

化简得切线方程是:3x-4y+22=0

综上,过点p(-2,4)的圆C的切线方程是x=-2或3x-4y+22=0