很简单,最后的方程如果直接用数学软件求解,可得近似值
∠ABP ≈ 0.6443（弧度）≈ 36°55'
解析：
∠APB+∠BPC+∠APC=360°且∠APB:∠BPC:∠APC=5:6:7
容易求得,∠APB=100°,∠BPC=120°,∠APC=140°
将ΔAPC绕点A顺时钟旋转60°得到三角形AP'B,连接PP’
∵ΔAP'B≌ΔAPC
∴∠AP'B=∠APC=140°,P'B=PC,AP'=AP
∵∠PAP'=60°,AP=AP'
∴ΔBPP’是等边三角形
∴PP'=PA
∵∠APP'=∠AP'P=60°
∴∠BPP'=∠APB-∠APP'=100°-60°=40°
∠BP'P=∠AP'B-∠AP'P=140°-60°=80°
∠P'BP=180°-40°-80°=60°
在ΔBPP'中,由正弦定理得
PP'/sin∠P'BP=PB/sin∠BP'P
PP'/PB=sin60°/sin80°
在ΔABP中,也由正弦定理得
PA/sin∠ABP=PB/sin∠BAP
设∠ABP=x,则∠BAP=80°-x
PA/PB=sinx/sin(80°-x)
∵PP'=PA
∴sin60°/sin80°=sinx/sin(80°-x)
sin60°sin(80°-x)=sin80°sinx
用和差公式展开
sin60°(sin80°cosx-cos80°sinx)=sin80°sinx
sin60°sin80°cosx=(sin60°cos80°+sin80°)sinx
tanx=sin60°sin80°/(sin60°cos80°+sin80°)
tanx=(√3)tan80°/(2tan80°+√3)
x=arctan[(√3)tan80°/(2tan80°+√3)]
即∠ABP=arctan[(√3)tan80°/(2tan80°+√3)]
