（Ⅰ） f / (x)=x+a-3+
1
x (x＞0) ．（2分）
若函数f（x）在（0，+∞）上递增，
则f′（x）≥0对x＞0恒成立，即 a≥-(x+
1
x )+3 对x＞0恒成立，
而当x＞0时， -(x+
1
x )+3≤-2+3=1 ．
∴a≥1．
若函数f（x）在（0，+∞）上递减，
则f′（x）≤0对x＞0恒成立，即 a≤-(x+
1
x )+3 对x＞0恒成立，
这是不可能的．
综上，a≥1．
a的最小值为1．（6分）
（Ⅱ）由 f(x)= (
1
2 -a)x 2 +(a-2)x+2lnx =0，
得： (a-
1
2 )x 2 +(2-a)x=2lnx ，
即：a=
lnx+x
x 2 ，令r（x）=
lnx+x
x 2 ，r′（x）=
(
1
x +1) x 2 -2x(lnx+x)
x 4 =
1-x-2lnx
x 3
得1-x-2lnx=0的根为1，
所以当0＜x＜1时，r′（x）＞0，则r（x）单调递增，
当x＞1时，r′（x）＜0，则r（x）单调递减，
所以r（x）在x=1处取到最大值r（1）=1，
又x→0时r（x）→0，又x→+∞时，r（x）→0，
所以要使y=
lnx+x
x 2 与y=a有两个不同的交点，则有 0＜a＜1…8分
（III）假设存在，不妨设0＜x 1＜x 2. k=
f( x 1 )-f( x 2 )
x 1 - x 2 =
1
2
x 21 +(a-3) x 1 +ln x 1 -
1
2
x 22 -(a-3) x 2 -ln x 2
x 1 - x 2 = x 0 +(a-3)+
ln
x 1
x 2
x 1 - x 2 ．（9分）
f / ( x 0 )= x 0 +(a-3)+
1
x 0 ．
若k=f′（x 0），则
ln
x 1
x 2
x 1 - x 2 =
1
x 0 ，即
ln
x 1
x 2
x 1 - x 2 =
2
x 1 + x 2 ，即 ln
x 1
x 2 =
2
x 1
x 2 -2
x 1
x 2 + 1 ．（*）（12分）
令 t=
x 1
x 2 ， u(t)=lnt-
2t-2
t+1 （0＜t＜1），
则 u′(t)=
(t-1) 2
t (t+1) 2 ＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k≠f′（x 0）．
因此，满足条件的x 0不存在．（16分）
