已知f(x)=2lnx-x^2,若方程f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,求m的取值范围.
3个回答
f(x)+m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,
则
x^2-2lnx-m=0在[1/e,e]内有两个不相等的实根,
令g(x)=x^2-2lnx-m
则
g(x)'=2x-2/x=2(x^2-1)/x
即g(x)在x=-1和x=1处有拐点,
当x＜-1时,lnx不存在,所以舍去；
当-1＜x＜1时,因是在[1/e,e]内,所以在1/e＜x＜1内,g(x)'＜0,即g(x)在1/e＜x＜1内单调递减；
当x＞1时,g(x)'＞0,即g(x)在1＜x＜e时单调递增.
又
g(1/e)=1/e^2+2-m
g(1)=1-m
g(e)=e^2-2-m
所以要使g(x)有两个不相等的实根,就要
g(1)=1-m＞0,且g(1/e)=1/e^2+2-m＜0,g(e)=e^2-2-m＜0
或
g(1)=1-m＜0,且g(1/e)=1/e^2+2-m＞0,g(e)=e^2-2-m＞0
所以
m＜1,m＞1/e^2+2,m＞e^2-2
或
m＞1,m＜1/e^2+2,m＜e^2-2
所以
第一组舍去,只有
m＞1,m＜1/e^2+2,m＜e^2-2
所以
1＜m＜1/e^2+2.
e=2.718281828459
e^2-2=5.389056098930404302314681
1/e^2+2=2.1353352832366171961659500496725
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