已知抛物线C: y=- x 2 +6, 点P（2, 4）、A、B在抛物线上, 且直线PA、PB的倾斜角互补.
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已知抛物线C: y=-
x 2+6, 点P（2, 4）、A、B在抛物线上, 且直线PA、PB的倾斜角互补.
(Ⅰ)证明:直线AB的斜率为定值;
(Ⅱ)当直线AB在y轴上的截距为正数时, 求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程.
（1）k AB=2.（2）方程为y=2x+
.
(Ⅰ)证: 易知点P在抛物线C上, 设PA的斜率为k, 则直线PA的方程是y-4=k(x-2).
代入y=-
x 2+6并整理得x 2+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根x A及2,
由韦达定理得:
2x A="-4(k+1)" , ∴x A="-2(k+1)." ∴y A=k(x A-2)+4.=-k 2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k 2-4k+4).
由于PA与PB的倾斜角互补, 故PB的斜率为-k.
同理可得B(-2(-k+1), -k 2+4k+4)
∴k AB="2."
(Ⅱ) ∵AB的方程为y="2x+b," b>0.代入方程y=-
x 2+6消去y得
x 2+2x+b-6=0.
|AB|=2
.
∴S=
|AB|d=
·2
.
此时方程为y=2x+
.
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