直线过抛物线x^2=8y的焦点,交抛物线于AB,若AB中点的纵坐标为4,求|AB|的长和直线的倾斜角k
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设焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)

由题知F(0,2)

由焦半径公式 AF=y1+2 BF=y2+2

所以 AB=AF+BF=y1+y2+4

又AB中点纵坐标为4 所以 y1+y2=8 代入上式得

AB=12

设直线AB为 y=kx+2 代入抛物线方程得

x^2-8kx-16=09

所以 x1+x2=8k ,x1*x2=-16 (*)

而 y1+y2

=(x1^2+x2^2)/8

=[(x1+x2)^2-2x1*x2]/8 =8

将(*)代入上式 得

k=±√2/2

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