如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16．∠BAC的平分线AD交BC于D，经过A、D两点的⊙O交AB
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（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD．（2分）
∴OD ∥ AC．（3分）
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC于D．
∴BC是⊙O的切线．（4分）
（2）过D作DG⊥AB于G，
∴DG=DC，AG=AC．（5分）
设DC=x，则BD=16-x，BG=8，
∴8 2+x 2=（16-x） 2
∴x=6．（6分）
设半径为r，则（12-r） 2+6 2=r 2
∴r=7.5．
∴EG=3．（7分）
连接DE，DF，易证△DGE≌△DCF，
∴CF=3，
∴AF=9．（8分）
（2）证法2：（如图）连OD，OF，作OM⊥AF于M；
设DC=x，（x的求法同于前面）
∴x=6；
∵OM⊥AF，OD⊥BC，则MC=OD=R，OM=DC=6，AM=12-R，
∴R 2=（12-R） 2+6 2，
∴R=7.5，
∴AM=12-7.5=4.5，
∴AF=2AM=9．
证法3：（如图）连EF，与OD交于H点，
设DC=x
∴x=6，（求法同前）；
在Rt△BOD中，BO=20-R，OD=R，BD=10；
∴（20-R） 2=R 2+10 2，
∴R=7.5，
∴AE=15；
∵EF=2FH=2CD=12，
在Rt△EAF中，AF 2=AE 2-EF 2=15 2-12 2=81，
∴AF=9．
证法4，（如图）连EF；设DC=x，
∴x=6，（求法同前）
∴EF=2FH=2CD=12；
∵S △BEF+S 梯形EFCB=S △ABC，
1
2 EF•BF+
1
2 (EF+BC)•(AC-AF)=
1
2 AC•BC ，
∴AF=9．
1年前
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