已知{an}是等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记Sn为数列{bn}的前n项和,
(1)若bk=am(m,k是大于2的正整数),求证:Sk-1=(m-1)a1;
(2)若b3=ai(i是某一正整数),求证:q是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项;
(3)是否存在这样的正数q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在,写出一个q的值,并加以说明;若不存在,请说明理由.
解题思路:(1)设{an}的公差为d,由a1=b1,把bk=am代入a1qk-1=a1,进而可表示出Sk-1,题设得证.
(2)利用)b3=a1q2,ai=a1+(i-1)a1(q-1),进而可得q2=1+(i-1)(q-1),q2-(i-1)q+(i-2)=0,整理即可求得q=i-2,进而可判定i-2是整数,即q是整数,设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+),设数列{an}中的某一项am(m∈N+)=a1+(m-1)a1(q-1)只要证明存在正整数m,使得bn=am,即在方程a1qn-1=a1+(m-1)a1(q-1)中m有正整数解即可.
(3)设数列{bn}中有三项bm,bn,bp(m<n<p,m,n,p∈N+)成等差数列,利用等差中项的性质建立等式,设n-m=x,p-n=y,进而可得以2=
1
q
x
+
q
y
,令x=1,y=2,求得q.
设{an}的公差为d,由a1=b1,a2=b2≠a1,知d≠0,q≠1,d=a1(q-1)(a1≠0)
(1)因为bk=am,所以a1qk-1=a1+(m-1)a1(q-1),qk-1=1+(m-1)(q-1)=2-m+(m-1)q,
所以Sk−1=
a1(1−qk−1)
1−q=
a1(m−1−(m−1)q)
q=(m−1)a1
(2)b3=a1q2,ai=a1+(i-1)a1(q-1),由b3=ai,
所以q2=1+(i-1)(q-1),q2-(i-1)q+(i-2)=0,解得,q=1或q=i-2,但q≠1,所以q=i-2,因为i是正整数,所以i-2是整数,即q是整数,设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+),设数列{an}中的某一项am(m∈N+)=a1+(m-1)a1(q-1)
现在只要证明存在正整数m,使得bn=am,即在方程a1qn-1=a1+(m-1)a1(q-1)中m有正整数解即可,m-1=
qn−1−1
q−1=1+q+q2+…+qn-2,所以m=2+q+q2+qn-2,若i=1,则q=-1,那么b2n-1=b1=a1,b2n=b2=a2,当i≥3时,因为a1=b1,a2=b2,只要考虑n≥3的情况,因为b3=ai,所以i≥3,因此q是正整数,所以m是正整数,因此数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+)与数列{an}的第2+q+q2+qn-2项相等,从而结论成立.
(3)设数列{bn}中有三项bm,bn,bp(m<n<p,m,n,p∈N+)成等差数列,则有
2a1qn-1=a1qm-1+a1qp-1,设n-m=x,p-n=y,(x,y∈N+),所以2=[1
qx+qy,令x=1,y=2,则q3-2q+1=0,(q-1)(q2+q-1)=0,因为q≠1,所以q2+q-1=0,所以q=
5−1/2(舍去负值),即存在q=
5−1
2]使得{bn}中有三项bm,bm+1,bm+3(m∈N+)成等差数列.
点评:
本题考点: A:数列的求和 B:等差数列的性质 C:等比数列的性质
考点点评: 本题主要考查了数列的求和问题.考查了学生对数列基本知识点的综合掌握.
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