（Ⅰ）记“该射手向甲靶射击一次并击中”为事件A，
“该射手向乙靶射击一次并击中”为事件B，
则由题意得，
P(AB)=
8
15
P(
.
A
.
B )=
1
15 ，
由各次射击结果互不影响得
P(A)P(B)=
8
15
P(
.
A )P(
.
B )=
1
15 ，
即
p 1 p 2 =
8
15
(1- p 1 )(1- p 2 )=
1
15 ，
解得 p 1 =
4
5 ， p 2 =
2
3 ．…（3分）
（Ⅱ）η的所有可能取值为0，1，2，3，6．…（4分）
记“该射手第i次射击击中目标”为事件A i（i=1，2，3），
则 P(η=0)=P(
.
A 1
.
A 2
.
A 3 )=(1-
2
3 ) 3 =
1
27 ， P(η=1)=P( A 1
.
A 2
.
A 3 +
.
A 1 A 2
.
A 3 +
.
A 1
.
A 2 A 3 )=P( A 1
.
A 2
.
A 3 )+P(
.
A 1 A 2
.
A 3 )+P(
.
A 1
.
A 2 A 3 )
=
2
3 ×(1-
2
3 ) 2 +(1-
2
3 )×
2
3 ×(1-
2
3 )+(1-
2
3 ) 2 ×
2
3 =
2
9 ， P(η=2)=P( A 1
.
A 2 A 3 )=
2
3 ×(1-
2
3 )×
2
3 =
4
27 ， P(η=3)=P( A 1 A 2
.
A 3 +
.
A 1 A 2 A 3 )=P( A 1 A 2
.
A 3 )+P(
.
A 1 A 2 A 3 )=(
2
3 ) 2 ×(1-
2
3 )+(1-
2
3 )×(
2
3 ) 2 =
8
27 ， P(η=6)=P( A 1 A 2 A 3 )=(
2
3 ) 3 =
8
27 ．
所以η的分布列为：
η 0 1 2 3 6
P
1
27
2
9
4
27
8
27
8
27 …（9分）
（Ⅲ）考察不等式
P(X=k+1)
P(X=k) =
C k+1n p k+1 (1-p) n-k-1
C kn p k (1-p) n-k =
n-k
k+1 •
p
1-p ≥1 ，
得k≤（n+1）p-1．
①如果（n+1）p是正整数，那么（n+1）p-1也是正整数．
此时，可以使：k=（n+1）p-1，即k+1=（n+1）p，
且P（X=k+1）=P（X=k）．
则当k取（n+1）p或（n+1）p-1时，P（X=k）取最大值．
②如果（n+1）p不是正整数，那么不等式
P(X=k+1)
P(X=k) ≥1 不可能取等号．
所以，对任何k，P（X=k+1）≠P（X=k）．
所以，当k+1＜（n+1）p时，P（X=k+1）＞P（X=k）．
记小于（n+1）p的最大整数为[（n+1）p]，
则当k=[（n+1）p]时，P（X=k）取最大值．
综上可知，如果（n+1）p是正整数，当k取（n+1）p或（n+1）p-1时，P（X=k）取最大值；
如果（n+1）p不是正整数，当k=[（n+1）p]时，P（X=k）取最大值．…（14分）
