解题思路：（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；
（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程
5
2
t
10
＝
1
2
(6−t)
6
，解此方程即可求得答案；
②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．
（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，
∴BD=CD=[1/2]BC=6cm，
∵a=2，
∴BP=2tcm，DQ=tcm，
∴BQ=BD-QD=6-t（cm），
∵△BPQ∽△BDA，
∴[BP/BD＝
BQ
AB]，
即[2t/6＝
6−t
10]，
解得：t=[18/13]；
（2）①过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，
∴PB=CM，
∴PB=PQ，
∴BE=[1/2]BQ=[1/2]（6-t）cm，
∵a=[5/2]，
∴PB=[5/2]tcm，
∵AD⊥BC，
∴PE∥AD，
∴PB：AB=BE：BD，
即
5
2t
10＝
1
2(6−t)
6，
解得：t=[3/2]，
∴PQ=PB=[5/2]t=[15/4]（cm）；
②不存在．理由如下：
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．
若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，
∴∠PCQ=∠CPM，
∴∠CPM=∠PCM，
∴PM=CM，
∴四边形PQCM是菱形，
∴PQ=CQ，PM∥CQ，
∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，
∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），
∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），
at＝6+t①
6+t
12＝
10−at
10②，
化简得②：6at+5t=30③，
把①代入③得，t=-[6/11]，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．
