在RT三角形ABC中,∠C＝90° 以C为圆心作弧 切AB于D已知AD＝4 BD＝1 则图中阴影部分的面积是
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连 CD.
∵ AD＝4、 BD＝1
∴ AB = AD + BD = 4 + 1 = 5
∵ 以C为圆心的弧 与 AB 相切 于点D
∴ CD ⊥ AB （圆的切线垂直于过切点的半径）
∴ ∠BDC = ∠CDA = 90°
∵ ∠C＝90°
∴ ∠B + ∠A = 90° --------------------------------- ①
∵ CD ⊥ AB
∴ ∠B + ∠BCD = 90° ------------------------------------ ②
由 ① ② 得： ∠A = ∠BCD
在 Rt△BCD 和 Rt△CAD 中
∠BDC = ∠CDA = 90° （已证）
∠A = ∠BCD （已证）
∴ Rt△BCD ∽ Rt△CAD
∴ BD ：CD = CD ：AD
∴ CD的平方 = BD × AD
= 1 × 4
= 4
∴ CD = 2
则 S△ABC = （1/2）× AB × CD
= （1/2）× 5 × 2
= 5
∵ ∠C = 90°
∴ 以C为圆心的弧 与 两直角边（BC、AC）围成的扇形的面积 S扇
等于 “ 以C为圆心、以CD长为半径的圆的面积 “的四分之一.
∴ S扇 = （1/4）× （π × CD的平方）
= （1/4）× （π × 2的平方）
= π
∴ S阴 = S△ABC -- S扇
= 5 -- π
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