设f为R上单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明函数g在R上每点都右连续
1个回答

证明:

∵f为R上的单调函数,

∴f的不连续点为最多可数集

设f的不连续点组成的集合为E

则g(x)=f(x+0)=f(x) x∈RE

∴g(x)在RE上连续,则也右连续

任取x∈E,g(x)=lim(t->x+)f(t)=lim(t->x+)g(t) t∈RE

∴g在x右连续

综上,g(x)在R上右连续

补充:证明没有用到是否存在那样的开区间.不过可以做如下解释

由于E包含于R,且E为最多可数集

则RE稠于E,即E中每个点都可以由RE中的点列来逼近

由于极限lim(t->x+)f(t)存在,所以让t属于RE来求得的极限必然和t∈R时的极限相同.所以有如上证明.

补充2:请注意,D(x)可不单调

关于那一步证明用的是实变函数的结论.

补充3:我不会^^

相关问题