如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B（0，1），且点A（a，0）（a≠0）是x轴上动点，过点A作线段AB的垂线交
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解题思路：（1）由已知可得AP⊥AB，得到直线AP的斜率，写出直线方程，利用AP=AD，求出x，y满足的关系；
（2）由（1）可知，直线MQ，NQ都是抛物线的切线，得到它们的斜率（用各自的坐标表示，）利用两点式得到的直线斜率与求导得到斜率相等，得到x1，x2是方程x2-2tx-4=0的两个根，利用根与系数的关系结合向量垂直的性质得到关于Q的坐标的代数式值为0．
（1）设动点P（x，y），kAB=-
1
a，∵AP⊥AB，∴kAP=a，∴直线AP的方程为y=a（x-a）．…（2分）
由AP=DA，即A为线段PD的中点，∴x=2a，y=a2，
∴点P的轨迹C的方程是x2=4y（y≠0）．…（5分）
（2）设Q（t，-1），M（x1，
x12
4），N（x2，
x22
4），∵x2=4y，
∴y′=[1/2]x．
∴kMQ=[1/2]x1，kNQ=[1/2]x2，
∴
x12
4+1
x1-t=
1
2x1整理得x12-2tx1-4=0．…（8分）
同理x22-2tx2-4=0，
∴x1，x2是方程x2-2tx-4=0的两个根，
x1+x2=2t，x1x2=-4．…（9分）
∴
QM•
QN=（x1-t，
x12
4+1）（x2-t，
x22
4+1）=x1x2-t（x1+x2）+t2+
1
16x12x22+
1
4(x12+x22)+1
=-4-2t2+t2+1+[1/4]（4t2+8）+1=0，
∴QM⊥QN．…（14分）
点评：
本题考点： A:轨迹方程 B:直线与圆锥曲线的关系
考点点评： 本题考查了轨迹方程的求法以及利用向量解决几何中线段垂直问题，运算量较大，注意细心解答，属于中档题．
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