211 SVD算法
SVD算法可用来求解大多数的线性最小二乘法问题.SVD 算法基于如下分解定理:对任
意的矩阵 Am ×n ,当其行数 m 大于等于列数 n 时,可以分解为正交矩阵 Um ×n ,非负对角矩阵
Wn×n以及正交矩阵Vn×n的转置的乘积,即
Am×n = Um×n ·[diag( wj
) ] n×n ·V T
n×n ,(2)
其中 wj ≥ 0 (1 ≤j ≤n) ; U ,V 为正交矩阵,即满足
6
m
i =1
uijuik = δ jk ,6
n
i =1
vijvik = δ jk (1 ≤j ,k ≤n) ,(3)当 m < n 时,SVD也可以执行,在这种情况下,奇异值 wj = 0 ( m + 1 ≤j ≤n) ,并且 U 中相应的
列都是零,这时(3)式仅对 j ,k ≤m 时成立.故不管矩阵 A 是否是奇异,(2)式的分解总可以进
行,而且这个分解几乎是惟一的.也就是说,其分解形式惟一到:对矩阵 U 的列、 W 的元素和
V 的列能做相同的置换,或者矩阵 U 和V 的任意列的线性组合,在 W 中对应的元素仍恰好完
全相同.
SVD分解明确地构造了矩阵零空间和值域的正交标准化基.特别地,对 U 的列,若与其
标号相同的元素 wj 为非零元,则其列为值域的一个正交标准化的基础矢量;对 V 的列,若与
其标号相同的 wj 为零,则其列为零空间的一个正交标准化基.对于如下的多指数衰减 T2 模
型,有
y = M ·f ,(4)
其中 y = ( y1 ,y2 ,…,yn )
T
为测量的自旋回波衰减信号,M = [ mij ] n ×m = [ exp ( - ti/
T2 j
) ] n ×m ; f = ( f 1 ,f 2 ,…,f m)
T
为弛豫时间 T2 j对应的各点的幅度值,T2 j
( j = 1 ,2 ,…,m)为预先
指定的 T2 时间分布系列,典型的取法为在( T2min ,T2max)区间内对数均匀地选取 m 个点,我们
称为弛豫时间布点,也可采用2的幂指数布点、 线性均匀布点等方式.矩阵条件数的定义为矩
阵的最大特征值与最小特征值的比值.若矩阵的条件数为无穷大,则该矩阵奇异;若矩阵的条
件数太大,即其倒数超出了机器的浮点精度,则称该矩阵为病态的矩阵.若直接采用 G auss分
解求上式,几乎是不可能的,原因是矩阵 M 的条件数相当大,例如:若回波间隔τ= 1.2 ×10 - 3
s ,T2 在0.1 × 10 - 3
10000 ×10 - 3
s内对数均匀地取50 个点,则矩阵 M 的条件数可达1016
数
量级,很明显,矩阵 M 是高度病态的.采用 SVD 分解法来求解上式,系数矩阵 Mn×m =
Un×m ·[diag( wj
) ] m×m · VT
m×m ,这里 U ,V 为正交矩阵,diag( wj
)为对角矩阵,其对角元递减排
列,则我们就可以很容易地求得最小二乘意义下的解为
^ f = V · diag
1
w1
,
1
w2
,…,
SNR
w1
,0 ,…,0 ·( UT
·y) .(5)
这里给出了矩阵条件数小于等于SNR的限制,避免了解的不稳定性.其中 SNR为从测量数据
中估计出的信噪比.SNR定义为第1个回波的幅度值除以误差矢量 r ( r = y - M· ^ f )的标准差
