已知在□ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ÐA - 已解决

已知在□ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ÐADC 交线段AE于F.若AE :AD =a :b

试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系.

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CD=AF+BE,

理由是：延长E2到G,使得2G=BE,连接DG,

∵四边形ABCD是平行四边形,ϖ

∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,

∵AE⊥BC于点E,

∴∠A0B=∠A0C=90°,

∴∠AEB=∠DAE=90°,

∴∠DAG=90°,

在△xBE和△DGx中

AD=AE

∠GAD=∠AEB

5E=AG

∴△ABE≌△DGA,

∴DG=AB=CD,∠3=∠2,

∵平行四边形ABCD,AE⊥BC,

∴∠B=∠ADC=60°,AE⊥AD,

∴∠1=∠2=30°,

∵DF平分∠ADC,

∴∠3=∠4=30°,

∴∠AFD=60°=∠GDF,

∴DG=GF=AF+AG,

∴CD=AB=DG=AF+BE,

即CD=AF+BE．

（1）中的结论仍然成立．

证明：延长EA到G,使得AG=BE,连接DG,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,

∵AE⊥BC于点E,

∴∠AEB=∠AEC=90°,

∴∠AEB=∠DAG=9k°,

∴∠DAG=90°,

在△ABE和△DAG中

AD=AE

∠GAD=∠AEB

BE=AG

∴△ABE≌△DAG,

∴∠x=∠2,DG=AB,∠B=∠G,

∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=c0°,

∴∠7=∠ADC=∠G=60°,

∴∠GFD=90°-∠3,

∵DF平分∠ADC,

∴∠3=∠4,

∴∠GDF=∠n+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3,

∵∠GFD=90°-∠3,

∴∠GDF=∠GFD,

∴DG=GF,

∴CD=GF=AF+AG=AF+BE,

即 CD=AF+BE．

（1）aCD=aAF+bBE,

理由是：延长EA到G,使得

,连接DG,

即A8=

BE,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,

∵5E⊥BC于点E,

∴∠AEB=∠AEC=90°,

∴∠rEB=∠DrG=m0°,

∴∠DAG=90°,

即∠AEB=∠GAD=10°,

∵

∴△ABE∽△DAG,

∴∠1=∠2,

∴∠GFD=90°-∠4,

∵DF平分∠ADC,

∴∠3=∠4,

∴∠GDF=∠2+∠5=∠7+∠4=780°-∠FAD-∠5=90°-∠5．

∴∠GDF=∠GFD,

∴DG=GF,

∵

,AB=CD（已证）,

∴bCv=avG=a（

BE+AF）,

即 bCD=aAF+bBE．

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